ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО ОПЕРАТОРНОГО МЕТОДА К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ ПОКЛИНГТОНА И ГАЛЛЕНА
ДЛЯ ТОНКИХ ПРОВОЛОЧНЫХ АНТЕНН 

Бойков Илья Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40),boikov@pnzgu.ru
Айкашев Павел Владимирович, аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), math@pnzgu.ru

517.98 

DOI

10.21685/2072-3040-2020-3-10 

Актуальность и цели. Одной из центральных задач в электронике сверхвысоких частот является построение миниатюрных антенн, обладающих высокими характеристиками. Основными уравнениями, используемыми при моделировании проволочных антенн различной конфигурации, являются уравнения Поклингтона, Галлена, сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения. При численном решении уравнений Поклингтона и Галлена в основном используются методы моментов и Галеркина. Так как уравнения Поклингтона и Галлена относятся к классу некорректных задач, то при реализации методов моментов и Галеркина возникают дополнительные трудности, связанные с неустойчивостью вычислительных схем. В данной работе для решения уравнений Поклингтона и Галлена предлагается применить непрерывный метод решения операторных уравнений, обладающий эффектом регуляризации. Этот эффект обусловлен тем, что непрерывный метод решения операторных уравнений построен на основе Ляпуновской теории устойчивости решений дифференциальных уравнений.
Материалы и методы. Исследуются приближенные методы решения уравнений Поклингтона и Галлена. Метод построения вычислительных схем заключается в следующем. Исходные уравнения аппроксимируются системой линейных алгебраических уравнений, построенных по технологии метода сплайн-коллокации. Система линейных алгебраических уравнений решается непрерывным операторным методом. В качестве достоинств предложенного метода следует отметить: его устойчивость при возмущении ядер уравнений и правых частей и возможность при построении вычислительной схемы учесть граничные условия на концах вибратора.
Результаты. Построены новые устойчивые численные методы решения уравнений Поклингтона и Галлена. Эффективность предложенных методов продемонстрирована решением модельных примеров.
Выводы. Предложенный в работе метод построения и обоснования сходимости вычислительных схем может быть распространен на уравнения, моделирующие различные модификации антенн и являющиеся аналогами уравнений типа Поклингтона и Галлена. 

Ключевые слова

уравнения Поклингтона и Галлена, метод коллокаций, вибраторы. 

 Скачать статью в формате PDF

1. Сазонов, Д. М. Антенны и устройства СВЧ / Д. М. Сазонов. – Москва : Высшая школа, 1988. – 434 с.
2. Неганов, В. А. Метод сведения уравнения Поклингтона для электрического вибратора к сингулярному интегральному уравнению / В. А. Неганов, И. В. Матвеев, С. В. Медведев // Письма в журнал теоретической физики. – 2000. – № 12. – С. 86–94.
3. Неганов, В. А. Сингулярные интегральные уравнения как метод физической регуляризации некорректных электродинамических задач радиотехники и связи / В. А. Неганов // Успехи современной радиотехники. – 2005. – № 12. – С. 16–24.
4. Бойков, И. В. Применение гиперсингулярных интегральных уравнений к численному моделированию электрического вибратора / И. В. Бойков, Д. В. Тарасов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. – 2008. – № 8. – С. 94–106.
5. Вычислительные методы в электродинамике / под ред. Р. Митры. – Москва : Мир. – 1977. – 488 с.
6. Бойков И. В. Об одном непрерывном методе решения нелинейных операторных уравнений / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т. 48, № 9. – С. 1308–1314.
7. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. – Москва : Наука, 1970. – 534 с.
8. Деккер, К. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / К. Деккер, Я. Вервер. – Москва : Мир, 1988. – 334 с.
9. Burke, G. J. Method of Moment / G. J. Burke, A. J. Poggio // Numerical Electromagnetics Code (NEC). – Lawrence Livermore Laboratory, 1981.
10. Barrera-Figueroa, V. Simplification of Poklington’s integral equation for arbitrary bent thin wires / V. Barrera-Figueroa, J. Sosa-Pedroza and J. Lopez–Bonilla // WIT Transactions on Modelling and Simulation. – 2005. – Vol. 39. – P. 563–574.
11. Pocklington, H. C. Electrical Oscillations in Wires / H. C. Pocklington. – London, England, Cambridge Phil. Soc. Proc., 1897. – Р. 324–332.
12. Rawle, W. D. The Method of Moments: A Numerical Technique for Wire Antenna Desing / W. D. Rawle // Higt Fraquency Electronics. – 2006. – Vol. 2. – P. 43–47.
13. Вайникко, Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский. – Москва : Янус-К, 2001. – 508 с.
14. Бойков, И. В. Об одном приближенном методе решения линейных гиперсингулярных интегральных уравнений на разомкнутых контурах интегрирования / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2016. – № 2. – С. 68–84.
15. Бойков, И. В. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода с особенностями второго порядка на классах функций с весами (1− t2 )−1/2 / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2017. – № 2. – С. 79–90.
16. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода с особенностями второго порядка на классе функций с весом ((1− t) / (1+ t))±1/2 / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2019. – № 3. – С. 76–92.
17. Бойков, И. В. Аналитические и численные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков // Динамические системы. – 2019. – Т. 9 (37), № 3. – С. 244–272.
18. Войтович, Н. И. УКВ вибраторные антенны / Н. И. Войтович, А. В. Ершов, А. Н. Соколов. – Челябинск : Изд-во ЮУрГУ, 2002. – 85 с.
19. Лозинский, С. М. Оценка погрешности численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. I / С. М. Лозинский // Известия вузов. Математика. – 1958. – № 5. – С. 52–90.
20. Boykov, I. V. New iterative method for solving linear and nonlinear hypersingular integral equations / I. V. Boykov, V. A. Roudnev, A. I. Boykova, O. A. Baulina // Applied Numerical Mathematics. – 2018. – Vol. 127. – P. 280–305.